sábado, 18 de julio de 2009

Seminario con el p. Franklin Galindo. ¿CUÁL ES EL CARDINAL DEL CONTINUO?


CODIGO DENOMINACION – AREA HORAS CREDITOS
0308 Lógica y filosofía de la ciencia 3 3
TITULO: ¿CUÁL ES EL CARDINAL DEL CONTINUO?
PROFESOR (A): Prof. Franklin Galindo

P R O G R A M A

INTRODUCCIÓN
Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo)
han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor
conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (ℵ0), es
decir, ℵ1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma.
Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada
al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más
destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de
Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen(1963-64), es decir, tales autores
demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se
puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que
la HC es una proposición significativa, la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales
más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el
cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas
(propuestos recientemente) dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del
continuo es ℵ2, el menor cardinal mayor que ℵ1(Gödel había intuido este resultado años antes). Sin
embargo, existen candidatos a nuevos axiomas que implican que Cantor estaba en lo cierto, por ejemplo
el Axioma de constructividad. El objetivo de este seminario es: (a) describir intuitivamente las pruebas de
independencia de Gödel y de Cohen, (b) interpretar tales resultados desde un punto de vista platonista,
intuicionista y formalista y (c) comentar algunos de los nuevos axiomas que permiten decidir la HC.

CONTENIDO
(1) Teoría Intuitiva de conjuntos.
(2) La Hipótesis del Continuo de Cantor.
(3) Los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
(4) Nociones básicas de Teoría de modelos.
(5) La Independencia de la HC de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
(6) Interpretación platonista, intuicionista y formalista de la independencia.
(7) Algunos nuevos axiomas que deciden la HC.

HORARIO: Lunes 03:00 a 5:25 pm

MODO DE EVALUACIÓN: Se hará evaluación continua, además de una prueba a mitad de semestre y
un trabajo final.

BIBLIOGRAFÍA:
(1) K. Kunen. Set Theory. An Introduction to Independence proofs. North-Holland.1980.
(2) P. Bernays. El Platonismo en Matemáticas (1934). Universidad Central de Venezuela. 1982.
(3) K. Gödel. ¿ Qué es el Problema del continuo de Cantor?(1947). En Obras Completas de K.
Gödel. Alianza Editorial. 1981.
(4) C. Di Prisco. Are we closer to a solution of the Continnuum Problem?. Revista. Int.Fil.
Caminas.2005.
(5) C. Di Prisco. Una Introducción a la teoría de Conjuntos y a los fundamentos de las matemáticas.
IVIC-UCV.2007.
(6) S. Lipschutz. Teoría de Conjuntos y Temas afines. McGraw-Hill. 1970.
(7) T. Jech. Set Theory. Springer. 2000.

1 comentarios:

José Rafael Herrera dijo...

Jóvenes amigos: una página de mucho provecho y aplicación para los estudiantes e incluso para los profesores. Hay, sin embargo, que corregir un dato que no deja de ser importante: el Prof. Dr. Juan David García Bacca era Venezolano, nacionalizado como tal. Al poseer la nacionalidad venezolana no deja, por supuesto, de ser español, pero su convicción y entrega al desempeño filosófico y a la cultura en general de la Venezuela que conoció lo hizo decidirse a ser venezolano. De modo que les sugiero que cambien el dato.
Gracias por la atención que puedan prestar a este comentario.
Saludos.
H.